Well-posedness of eight problems of multi-modal statistical image-matching

Multi-Modal Statistical Image-Matching techniques look for a deformation field that minimizes some error criterion between two images. This is achieved by computing a solution of the parabolic system obtained from the Euler-Lagrange equations of the error criterion. We prove the existence and uniqueness of a classical solution of this parabolic system in eight cases corresponding to the following alternatives. We consider that the images are realizations of spatial random processes that are either stationary or nonstationary. In each case we measure the similarity between the two images either by their mutual information or by their correlation ratio. In each case we regularize the deformation field either by borrowing from the field of Linear elasticity or by using the Nagel-Enkelmann tensor. Our proof uses the Hille-Yosida theorem and the theory of analytical semi-groups. We then briefly describe our numerical scheme and show some experimental results. Key-words: Multi-modal Image Matching, Variational Methods, Registration, Optical Flow, Mutual Information, Correlation Ratio, Euler-Lagrange equations, Initial-value problems, Maximal monotone operators, Strongly continuous semigroups of linear bounded operators, Analytical semigroups of linear bounded operators. This work was partially supported by NSF grant DMS-9972228, EC grant Mapawamo QLG3-CT-2000-30161, INRIA ARCs IRMf and MC2, and Conacyt. Résultats sur le caractère bien posé de huit problèmes de mise en correspondance multimodale d’images Résumé : Les méthodes de mise en correspondance multimodale cherchent un champ de déformation qui minimise un critère d’erreur entre deux images. Ceci est accompli en calculant une solution du système d’EDP paraboliques obtenu à partir des équations d’Euler Lagrange du critère d’erreur. Nous démontrons existence et unicité de la solution pour ce système parabolique dans huit cas qui correspondent aux alternatives suivantes. Nous considérons que les images sont des réalisations de processus aléatoires spatiaux qui sont soit stationnaires soit non stationnaires. Dans chaque cas on mesure la similarité entre les deux images soit par l’information mutuelle, soit par le rapport de corrélation. Dans chaque cas nous régularisons le champ de déformation soit par un terme d’élasticité linéarisée, soit par de la diffusion anisotrope en utilisant le tenseur de Nagel-Enkelmann. Notre preuve utilise le théorème de Hille-Yosida. Nous décrivons ensuite brièvement la discrétisation des équations et nous montrons quelques résultats expérimentaux. Mots-clés : Mise en Correspondance Multimodale, Méthodes Variationnelles, Flot Optique, Information Mutuelle, Rapport de Corrélation, Équations d’Euler-Lagrange, Problèmes d’évolution, Opérateurs maximaux monotones, Semi-groupes d’opérateurs linéaires bornés fortement continus, Semi-groupes d’opérateurs linéaires bornés analytiques. Well-posedness of eight problems of multi-modal statistical image-matching 3